Szukamy ponownie (jak przy module Transformacja Galileusza ) wzorów przekładających spostrzeżenia jednego obserwatora na obserwacje drugiego. Chcemy znaleźć transformację współrzędnych, ale taką, w której obiekt poruszający się z prędkością równą \( c \) w układzie nieruchomym \( (x, y, z, t) \), również w układzie \( (x', y', z', t') \) poruszającym się z prędkością \( V \) wzdłuż osi \( x \) będzie poruszać się z prędkością \( c \). Transformacja współrzędnych, która uwzględnia niezależność prędkości światła od układu odniesienia ma postać

\( {x^\prime=\frac{x-\text{Vt}}{\sqrt{1-\frac{V^{{2}}}{c^{{2}}}}}=\frac{x-\text{Vt}}{\sqrt{1-\beta^{{2}}}}} \),
\( y^\prime=y \),
\( z^\prime=z \),
\( {t^\prime=\frac{t-\frac{V}{c^{{2}}}x}{\sqrt{1-\frac{V^{{2}}}{c^{{2}}}}}=\frac{t-\frac{V}{c^{{2}}}x}{\sqrt{1-\beta^{{2}}}}} \),

gdzie \( \beta = V/c \). Te równania noszą nazwę transformacji Lorentza. Omówimy teraz niektóre wnioski wynikające z transformacji Lorentza.

Jednoczesność

Przyjmijmy, że według obserwatora w rakiecie poruszającej się wzdłuż osi \( x' \) (czyli także wzdłuż osi \( x \), bo zakładamy, że te osie są równoległe) pewne dwa zdarzenia zachodzą równocześnie \( \Delta t' \) = \( t_{2} \)'- \( t_{1} \)' = 0, ale w rożnych miejscach \( x_{2} \)' - \( x_{1} \)' = \( \Delta x' \) \( {\neq} \) 0. Sprawdźmy, czy te same zdarzanie są również jednoczesne dla obserwatora w spoczynku. Z transformacji Lorentza wynika, że

oraz

Łącząc te równania, otrzymujemy związek

Jeżeli teraz uwzględnimy fakt, że zdarzenia w układzie związanym z rakietą są jednoczesne \( \Delta t' \) = 0, to otrzymamy ostatecznie

Widzimy, że równoczesność zdarzeń nie jest bezwzględna, w układzie nieruchomym te dwa zdarzenia nie są jednoczesne.

Skrócenie długości

Teraz rozpatrzmy inny przykład. W rakiecie poruszającej się z prędkością \( V \), wzdłuż osi \( x' \) leży pręt o długości \( L' \). Sprawdźmy jaką długość tego pręta zaobserwuje obserwator w układzie nieruchomym.

Pomiar długości pręta polega na zarejestrowaniu dwóch zjawisk zachodzących równocześnie na końcach pręta (np. zapalenie się żarówek). Ponieważ żarówki zapalają się na końcach pręta to \( \Delta x'= L' \). Ponadto żarówki zapalają się w tym samym czasie (dla obserwatora w układzie spoczywającym), to dodatkowo \( \Delta t \) = 0. Uwzględniając te warunki otrzymujemy na podstawie transformacji Lorentza

gdzie \( \Delta x \) jest długością pręta \( L \) w układzie nieruchomym. Stąd

Okazuje się, że pręt ma mniejszą długość, jest krótszy.